中小学统计及其课程教学设计(1)(2)

因此，作为教师，在统计课程实施的过程中，不仅仅需要知道如何去计算，还需要知道之所以这样计算的道理。只有这样，在讲课的时候才可能心里更有底，才可能根据学生的反应随时调节教学策略。再比如统计图表，是为了更直观地表达数据，这也是数据整理的一种形式。根据我们所要研究问题的不同，表达方式也可以有所不同。

（三）统计学研究方法的本质

问：严士健先生认为，统计学的研究方法与传统数学的研究方法有一个本质上的不同：统计学的研究方法是基于归纳，而传统数学是基于演绎。

▲ 史教授：我想，这是从思辨的角度来考虑的。一般来说，推理分为演绎和归纳。上面已经谈到，传统数学在本质上研究的问题是确定性的，基础是定义和假设，遵循约定原则进行严格的计算或者推理，因此更多的是演绎；统计学在本质上研究的问题是随机的，是非确定性的，通过较多的数据进行推断，也就是通过许多的个别来推断一般，可以认为是一种归纳。但是，正如我在上面也谈到过的那样，在许多情况下，哲学思考后的数学表达也是严格依赖于演绎的。

二、中小学统计课程设计的核心问题

（一）统计与概率课程设计的总体构想

问：《标准》《标准》指《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》。在总体目标中提出，要使学生能够“经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程，掌握统计与概率的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题；经历运用数据描述信息、作出推断的过程，发展统计观念”。在课程实施中，许多在教学一线的教师，甚至学科教学的专家都感到统计的内容安排不好把握，甚至对《标准》关于统计的设计提出了一些质疑。

作为统计学家，你认为如何设计中小学各学段的统计课程内容更合理呢？

▲ 史教授：对中小学统计课程内容的设计，我没有进行过专门的研究。我想，在讨论这个问题之前，首先要清楚的问题是，除了知识之外，统计学的教育功能是什么？或者说，统计学的教育价值是什么？

问：在中小学阶段，统计学的教育价值是什么呢？

▲ 史教授：我在上面都已经谈到了，现在再总结一下。主要有三点。首先，养成通过数据来分析问题的习惯。其实质是通过事实来分析问题，当遇到问题时，应当去调查研究，应当去收集数据，在此基础上进行的推断才可能客观地反映实际背景。其次，建立随机的概念。有些事情可能发生，有些事情可能不发生，这在日常生活中是大量存在的。即便如此，只要我们掌握的信息多了，也能够合理地推断实际背景。第三，学习如何去判断事情的主要因素。我已经谈到，统计学能够在一堆看似杂乱无章的数据中提炼信息、寻找规律，这就需要抓主要因素。比如我刚才谈到的股票市场的例子，核心企业就是主要因素。在统计学中，可能还有其他方面的教育价值，但在中小学阶段统计的教育价值主要就是这三点。

问：如何通过这三点来说明中小学统计内容的课程、教学设计呢？

▲史教授：教育价值，或者说教育功能是进行课程、教学设计的灵魂，是课程、教学设计的核心目标。如果中小学统计学课程、教学设计的核心目标是培养学生“通过数据来分析问题”，课程、教学设计的总体框架就应当是，体现从收集数据到分析推断的全过程，并以这个过程为主线，抓住要点，循序渐进。我们以小学统计为例， 在第一学段（1~3年级），可以侧重于统计直觉的培养。首先，应该对数有一定的理解和感悟，这主要是数的大小的比较，以及对于数的分类。后者对于学习现代数学和现代统计学都是重要的，但是过去我们很少接触。比如，我们可以让学生“建立一个原则，在这个原则下给全班同学分类”。显然分类方法是多种多样的，这个原则可以是男女、出生月份、家庭区域等等。再比如，把全国各省的GDP统计数据提供给学生，让学生根据GDP的多少对各个省进行分类，并讲出分类的标准。其实，这里也涉及抓主要因素的问题，分类的标准就是抓主要因素。

其次，学习一些抽样的方法，最好针对身边的事情。比如，同学们的身高、脚的大小、睡觉的时间等等。在这其中可以得到一些趣味性的结果。可以学习平均数，也可以学习统计表、直方图等等。

最后，可以学习分层抽样，并且通过比较，领会分层抽样的好处。因为有了数据的分类的基础，学习分层抽样就比较自然了。

在第二学段（4~6年级），可以有一些具有背景的理性的思考。比如，再进行学生身高的调查，然后与以前的数据比较，看身高的变化，其中可以得到许多有趣的学习：可以作直方图或折线图，然后比较；可以分类比较；可以通过斜率来分析变化率；甚至可以通过变化率来预测未来。除此之外，还要进行社会调查，比如市场物价调查，评估物价的上升还是低落，这里也涉及抓住主要因素的问题。

在这个阶段，可以渗透随机和概率的思想，分清楚有些事情可以直接判断可能性的大小，有些事情则需要调查估计可能性的大小。可以涉及加权平均。中位数和众数的学习一定要结合具体的案例进行学习，并且与平均数比较，这是因为中位数和众数在日常生活中用得不多。

最好有一个案例能够贯穿小学统计教学的全过程，比如我刚才谈到的身高的调查分析，让学生积累调查记录，逐年比较，从而对统计的学习有一个整体的了解。

（二）处理统计与概率关系的策略

问：在中小学数学课程教学中，应当如何处理统计与概率的关系？

▲ 史教授：概率论与统计学有很大的差别。虽然二者都研究随机现象，但概率论的研究基础还是定义和假设，这与传统数学很相似，而统计学的研究基础是数据，它的研究要借助概率论的结果。比如我刚讲到的“分清楚有些事情可以直接判断可能性的大小，有些事情则需要调查估计可能性的大小”，前者是概率计算，而后者是统计推断。在小学阶段，概率所涉及的形式化数学知识很少，只需要很好地理解分数。我曾经在前面的访谈中讲到，真分数有两个含义：一个是0与1之间的实数，一个是比率。后者可以理解为概率。如果再懂得一些代数知识，就能够理解概率中的逻辑运算和计算的基本原理。

中学的统计教学也涉及分数，也是借助比率的含义，也是表示事件发生可能性的大小。但是，在统计的计算中，分数是基于样本计算出来的，是与样本量的大小有关系的，在计算的过程中必须注意到这一点。比如，希望了解学生对某一项活动的支持率，一班有50人，10人赞同，支持率为；二班有45人，15人赞同，支持率为，那么总体支持率是否为（+）÷2=呢？不是的。应当考虑样本量的比例和，则总体支持率为，大约为。这就是加权平均，权为样本量的比例。当然也可以用来进行计算。两个计算都是合理的，因为都考虑到了样本量。但是前一个式子已经不需要样本的具体数据了，因而是更为深刻的。

从知识的角度来看，统计学的研究需要以概率论为基础。但从认知的角度看，统计比概率更为具体，概念和定义用得更少，因此，在小学阶段应当以学习统计为主，到初中阶段可以学习一些概率的初步知识，但是仍然要注意结合生活背景和实验背景，对概念的表达要以描述性为主，不要出现太多的专业术语。我想，概率的全面学习安排在高中阶段更为合适。

（三）统计与现代信息技术的整合

问：从课程改革实验区的情况看，计算器、计算机的日益普及为学生学习统计与概率提供了更加方便的工具。你是如何看待计算机在统计课程教学中的作用的呢？

▲  史教授：如我在上面谈到的那样，中小学统计的课程教学应当是一种直观的教学。什么是直观的教学呢？就是更多地依赖于学生的经验，特别是他们曾经亲身经历过的经验，从中去感悟、分析、理解、抽象，最后形成概念，学会判断。反复重复这个过程，直觉就建立起来了。直觉在本质上是不借助思维和理智的判断。而我们现在的教学，往往是从抽象开始的，没有重视从经验开始的前期过程，因而很难培养出学生的直觉。

在这个教学过程中，利用计算器、计算机是有益的，这不仅仅是因为计算便捷，更重要的是摆脱了严格意义下的数学计算，有利于培养学生对数据的直观感悟。

现代统计学是离不开计算机的，除了计算，更重要的是模拟实验。我不知道是不是可以在中小学阶段进行这种尝试。在一些经验的基础上，我们不一定每一次都去做非常实际的实验，而是可以在计算机上模拟实验，一方面可以省时省力，一方面可以把教学变得更富有探究性和趣味性。比如，我们可以设计一个袋子，里面有一定数量的白球和红球，让计算机来模拟摸球的实验，反复实验，看看模拟概率与计算概率的关系；还可以设计一个已知均值的总体，产生随机数来分析样本平均数与总体均值的关系；也可以模拟市场调查；等等。

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