绪论数学教学中的反例作用

　绪论数学教学中的反例作用

               刘雪生 

           （ 陕西宜川县中学 ，陕西 宜川  716200 ）

 摘要：反例在高等数学中的使用几率很高，而在中学阶段随着研究性学习的普遍开展，中、高考试题中开放性题型的比例逐渐增大，反例在中学数学及教学中的重要性也日益凸现。本文对反例在中学数学教学中的作用作了深入论述。

关键词：反例  类型  策略  应用

【文献标识码】E　　【文章编号】1728-2462(2008)03-0045-02

在社会实践和学习过程中，人们都有这样1个经验：当你对某1问题冥思苦想而不得其解时，从反面去想1想，常能茅塞顿开，获得意外的成功。在上海市新编数学课本中提到：“要明确1个命题是假命题，只要举出1个满足命题条件，而不满足命题结论的例子就行了。”这在数学中称为举反例。G·波利亚说：“类比和反例是获得发明的伟大源泉。”通过类比使我们获得1系列的猜想，但当猜想实为谬误时，反例是最简捷的1种说明方法。教育心理学家认为：概念或规则的正例传递了最有利于概括的信息，反例则传递了最有利于辨别的信息，因此运用反例是我们辨析错误的重要工具。从数学的发展史来看，反例和证明1样占有重要的地位，这是因为在数学问题的探索中，猜想结论是否正确，正确则要求严格证明，谬误则靠反例来否定。而数学的发现也是朝着这两个目标——提出证明和构造反例发展。

1 数学反例的概念与类型

1.1 数学反例的概念与类型

数学中的反例，是指符合某个命题的条件而又不符合该命题结论的例子。也就是说反例是1种指出某命题不成立的具体例子。从某种意义上来说，所有的例子都可以称为反例，因为它总可以指出某命题不成立。但是我们所说的数学反例，应该注意这样几点：1是相对于数学命题而言；2是具体的实例；3是反驳与纠正错误数学命题的1种方法；4是它建立在数学上已经证实了的理论与逻辑推理的基础上。1般来说，1个假命题的反例有多个，我们在举反例时，只选其中1个有代表性的就可以了。反例是相对于命题而言，它的产生与分类和数学命题的结构密切相关，因此在数学上的反例可以分为以下几种类型：

1.1.1 基本形式的反例

数学命题有以下4种基本形式：全称肯定判断，全称否定判断，特称肯定判断，特称否定判断。全称肯定判断（所有 都有 ）与特称否定判断（有 不是 ）可以互为反例。例如对任何自然数 都有 的值为1，这是全称肯定判断，但当 ， ，这是特称否定判断，这就是反例。

1.1.2 充分条件假言判断与必要条件假言判断的反例

充分条件的假言判断是断定某事物情况是另1事物情况充分条件的假言判断，可以表述为 。即“有前者，必有后者”。但是“没有前者，不1定没有后者”。可举反例“没有前者，确有后者”说明之。这种反例称为关于充分条件假言判断的反例。例如若 ，则 ，3角形全等是3角形等积的充分条件，但有3角形不全等，却等积，反例：同底等高的两个3角形等积但不全等，可说明这点。

必要条件的假言判断，可表述为 ，即“没有后者，就没有前者”。但是“有了前者，不1定有后者”。可举反例“有了前者，没有后者”说明之。这种反例称为关于必要条件假言判断的反例。

1.1.3 条件变化型反例

数学命题的条件改变时，结论不1定正确，为了说明这1点所举出的反例称为条件变化型反例。条件变化有多种，有减少条件，有增加条件，有变化条件，考查这几种情况下结论的变化，对数学科学的研究与教学是很有益的。

1.2 数学反例在中学教学中的应用背景

  《数学新课程标准》的基本理念的核心内容有这样1条：学生的数学学习内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容要有利于学生主动地观察、实验、猜测、验证、推理和交流等数学活动。内容的呈现应采取不同的表达方式以满足多样化的学习要求。有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、主动探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，数学学习活动应当是1个生动的、主动的和富有个性的过程。本条理念说明了要赋予数学学习活动以生命的活力，要发展学生的实践能力和创新精神。数学教育不能再单纯地依赖模仿与记忆，要转变过去封闭、被动、接受性的学习方式，倡导动手实践、自主探索与合作交流学习数学的重要方式。那么教师在教学过程中要凸显学习过程的探究性，应注重创设问题情境，引发矛盾冲突，激发学习兴趣，激活探究欲望，提供探究材料，构建探究性活动过程，让学生在活动中探究，在探究中体验，在体验中发现，合作探究，自主构建。数学反例在中学教学中的应用恰好迎合此理念，它是激发学生学习兴趣，培养学生创新能力，开发学生创造性思维的1种必不可少的教学方法。

  数学家B·R·盖尔鲍姆说过：“1个数学问题如果用1个反例予以解决，给人的刺激犹如1出好戏剧，使人得到享受和兴奋，为数学作出许多最优雅的和艺术性很强的贡献，属于这个流派。”在中学阶段的数学教学中，数学反例的应用是1种必然的教学手段，适当地应用反例并加强对学生构造反例能力的培养，将直接有效地推动教学质量的提高，使新课程标准下的教学理念真正得以体现，实现“教”与“学”的完美结合。

2 中学教学中数学反例的构造思维策略

在数学推理中，构造反例与提出证明1样，是1项积极的创造性的思维活动，2者具有同等重要的作用。在中学数学教学中，让学生掌握严密的推理逻辑与各种思维方法的同时，学会举反例亦10分重要。在概念与定理的教学中，构造巧妙的反例，能使概念与定理变得简捷明快，容易掌握；在习题基本训练的教学中，举反例是反驳与纠正错误的有效方法，是学生创建学习的有力武器。学会构造反例是数学爱好者必须掌握的技能，也是培养能力的重要手段，那么它也应该成为数学教学的基本训练内容而渗透于教学过程之中。以下将通过若干典型问题的分析，介绍1些常用的构造反例的方法。

2.1 通过对集合的分类和讨论构造反例

把满足题设的所有情况恰当地进行分类，然后逐类考察，仔细判定结论在所考察的情况下是否成立，由此找出结论不成立的情形，即可获得反例。1般对满足题设的所有情况进行分类时，宜采用2分法，即把满足题设的所有情况，按某1标准分成两类，使其中1类具有某种属性，而另1类不具有这种属性，如果第1种情况能使结论成立，则考察第2类情况，看是否存在使结论不成立的条件，如仍没有，继续采用2分法把第2类情况再加以分类，直到找出反例为止。

例1：找出下面命题的反例：对于方程 仅当 才有实数根。

分析：注意到方程 中的未知数 的取值范围可分为两类：（1） （2） 。对于第1类，有方程 ，确实仅当 时才有实数根；再观察第2类，有方程 ，当 时，它也有实数根，于是有反例：对于方程 ，取 ， ，此时 但方程有实数根 。

2.2 通过对1般命题的特殊化或极端化构造反例

有些似真实假的命题，若能考查题设的特殊情形或极端情形，常可简洁地发现反例，得到事半功倍的效果。

例2：矩形的各内角平分线组成正方形。

分析：这是1个假命题，当矩形处于邻边不相等的1般情形时，易证明结论成立，这时，我们必然考察特殊矩形——正方形，易知正方形的各内角平分线仅能交于1点，当然谈不上组成正方形，于是得到反例：正方形（属于矩形）的各内角平分线交于1点，不能组成正方形。

例3：偶函数没有反函数。

分析：这是1个广泛流传的结论，至今在大量参考书中均可见到，事实上它是错误的。反例如下：令 ，定义域为 。则它有反函数 ，定义域为 。

2.3 通过寻找反例成立的范围构造反例

任何1个命题都是在互相依存、互相制约的条件下出现的，我们可以在深刻理解基础知识的前提下，抓住定理、公式及法则成立的条件及其它正确命题中容易疏忽的条件，对照分析，设法找出制约命题成立的范围，从而发现反例。

例4：1元2次方程 有实根的充要条件是

分析：在实数范围内这是对的，但在复系数范围内这是错误的，可举反例： ，其判别式 ； ，其判别式 。由此可见对于复系数1元2次方程， 既不是方程有实根的充分条件，也不是方程有实根的必要条件。

2.4 通过对题设数量关系的分析构造反例

有些似真的假命题，题设规定了某些数量关系，或隐含了某些数量关系，如果题设满足了1部分数量关系，题断就成立；题设满足了另1部分数量关系时题断就不成立。此时如果能注意讨论这些数量，就能迅速准确地找出反例。

例5：命题“如果 是整数，则 也为整数”。它的逆命题是否正确？

分析：即判断命题“ 都是整数，则 必是整数”是否正确。设 （ 为整数）题设隐含数量关系： 是方程 的两实数根， ，易知 为整数时，方程的根不1定为整数，如取 时，两根为无理数，于是找到1个反例：若 ，则 不是整数，而是无理数，即 ， ，所以原命题的逆命题不正确。

2.5 通过类比已知反例构造新反例

类比为猜想提供了广阔的背景，同样它也为构造反例提供了有效的方法。

例6：命题：空间1点P到1个凸4面体4个顶点的距离相等，则点P的位置必定在该4面体的内部。

分析：凸4面体可类比为平面凸4边形，故可先考虑下面命题的反例：平面上1点P到1个凸4边形4个顶点的距离相等，则点P的位置必定在该4边形的内部。我们在以AB为直径的半圆上任取C，D两点，则圆心P到A，B，C，D4点的距离相等（均为圆半径），但点P不在该4边形的内部。同样地，我们考虑半球：在以A，B，C3点外接圆为大圆的半球面上任取1点D，则球心P到A，B，C，D4点的距离相等（均为球半径），但点P不在该4面体的内部。

2.6 通过简单运算的叠加构造反例

说明许多运算性质的真假，常可用1些简单事实，通过巧妙地叠加来获得反例。

例7：周期函数之和1定是周期函数。

分析：如果两个周期函数的周期有公倍数，则其和必为周期函数，据此不难找到反例。反例：取 ，周期为1， ，周期为 ，但 不是周期函数，故此命题不真。

例8：已知 和 都不存在，则 也不存在。

分析：我们试图寻找两个极限不存在的数列，但其产生极限不存在部分在求和中消失，于是随手可得反例：设 ，但 ，为常数数列， 。

2.7 通过逆向思维构造反例

在解决问题的思考过程中，我们通常需要打破思维定势，尝试着从命题的反面着手，运用逆向思维构造反例，这样就可以轻松获得反例。

例9：考察命题“任意3角形ABC，则覆盖此3角形的最小圆是它的外接圆。” 是否正确。

分析：所给命题易证对于直角3角形和锐角3角形都成立（证略），对于钝3角形却不成立。通过逆向思维来构造反例：先作1个圆，再作含圆上10分接近

的外接圆，但覆盖 的圆 要比圆 来得小。1般地可以证明：覆盖钝角3角形的最小圆是以其最大边AB为直径的圆，且此圆比 的外接圆小。

总之，构造反例没有固定的模式，有时甚至并非易事。因此，在数学教学中，要以反例否定错误命题，预防和纠正错误认识，培养学生缜密的思维品质；同时，必须把握好反例方法的施教时机，针对命题自身特点，具体问题具体分析，在多种方式、方法中选择构造反例的最佳思维策略，以期迅速达到理想的教学效果。

作者简介：刘雪生，男，(1964年--）中教1级。1989年参加工作以来，1直担任中学数学教学工作和班主任工作。现为陕西省宜川中学教师。曾获全国数学竞赛省级“优秀辅导教师”奖，高考数学单科总评成绩曾获延安市第1名，是县骨干体系“教学能手”。