从拓扑学到数学机械化(4)
2013-07-02 01:11
导读：到巴黎法国国家科学研究中心(CNRS)作研究工作，先任助理研究员后升至副研究员。 在巴黎期间，他在示性类方面又上了一个新台阶。简单说，主要是得出
到巴黎法国国家科学研究中心(CNRS)作研究工作，先任助理研究员后升至副研究员。
在巴黎期间，他在示性类方面又上了一个新台阶。简单说，主要是得出著名的吴文俊公式，这个公式完整地解决施提菲尔－惠特尼示性类的理论问题，其中一个结果是证明该示性类的拓扑不变性。现在公认这个结果为道姆所证，但是，吴文俊最先证明最主要的情形W[,2]的拓扑不变性。这是1949年底得出来的。他的手稿没有发表，他就把结果告诉道姆，道姆很快就得出一般结果，即所有施替费尔－费特尼示性类均为拓扑不变量，于是，吴文俊进一步得出该示性类的明显公式，即微分流形M的示性类表示成具体公式其中史包含M的上同调环以及斯廷洛德(N.Steenrod)平方运算。这就是著名的吴文俊公式。由于上同调环和上同调整运算都是同伦不变的，因此施提菲尔－惠特尼示性类也是同伦不变的，从而自然是拓扑不变的。更重要的是，1956年道尔德(A.Dold)等证明，施替费尔－惠特尼示性类的所有关系都由吴文俊公式导出，吴文俊公式自然处于核心地位。
吴文俊回国之前，在各个数学中心传扬着这位年轻人的工作。有人说，这是数学、特别是拓扑学的一次地震。而引发这次地震的是在法国工作的四位年轻数学家，他们依次是这样排序的：塞尔(J.P.Serre)、道姆、吴文俊、A.保莱尔(A.Borel)。塞尔是菲尔兹奖也是沃尔夫奖的获得者、道姆是菲尔兹奖的获得者，A·保莱尔后来是普林斯顿高等研究院的教授，他们都是公认国际一流的大数学家。由此可知吴文俊在当时国际数学界的知名度。1951年，普林斯顿大学的聘书寄到巴黎，这时吴文俊已经在回国的船上了。
五、数学研究所(1952-1958)
吴文俊回国后，先在北大教了一年书，后来参加思想改造运动，到了1952年底，才到了1952年7月成立的数学研究所，开始自己独立的拓扑学研究。
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吴文俊在1953年到1957年研究拓扑学可以说是他第二个五年拓扑年。与每一个五年拓扑年不同，他完完全全是独立进行自己的研究工作的。前一个五年，他或多或少受到其他数学家的影响，陈省身、埃瑞斯曼、H·嘉当，而且，幸运的是，这些影响都是积极的、正面的。他与同龄人的交流对彼此也有好处。而现在，他几乎是一个人独自闯关。他还很年轻，30岁出头，可是他得完完全全地独立工作，像一位成熟的数学家那样开拓自己的方向。这时，他不指望任何人的指点与帮助，也没人能指点他，因为他已经站在前沿，前面的路需要自己去摸索。在这种情况下，许多人可以躺在过去的成就上，或者在原有的基础上小改小革，做点小的改进，也能应付下去。但吴文俊不这样，他要与时俱进，开拓新方向，探讨新问题，而且，更为突出的是，他不随大流，甚至说有点反潮流。
当时的拓扑正好处于黄金时代，20世纪50年代短短10年产生一系列大突破，当时国际数学大奖，只有四年一度的菲尔兹奖，单是这10年的拓扑学就造就了5个获奖者。拓扑学成为大热门。许多结果与吴文俊的成果有关。
但是，身处中国大陆，所能交流的只有苏联、东欧等社会主义国家，而在50年代，由于法国学派和美国年轻一代的努力，这些国家的拓扑学已大大落后了。吴文俊只能自力更生 走出自己的路。他看到当时所知道大多数拓扑不变量，如同调群、上同调、平方运算、同伦群等等都是同伦不变量，那么有没有非同伦不变的拓扑不变量呢？这是一个全新的课题。在塞尔等人在同伦论取得大突破，大家都拼命跟着享用由此获得的大批成果时，谁会钻这个冷门呢？恰巧是吴文俊真的这么干了。
一到数学所，吴文俊就确定自己的战略方向。1952年，他去数学所作了一次报告，对当时的拓扑学做了一次全面分析。在报告中，他针对同伦性问题提出了拓扑性问题。代数拓扑学发展早期；许多著名的重要问题大都是拓扑性的，但由于拓扑学中出现的主要工具，例如欧拉示性数、贝蒂(Betti)数、挠系数、同调群、上同调环、基本群、同伦群等等都是同伦性的，具体说是同伦不变量，当然也是拓扑不变量，但这些工具对拓扑性问题往往无能为力，因而从20世纪30年代以来，拓扑学的发展转而集中于同伦性问题，特别由于塞尔等人的突破，许多原来不能计算的同伦不变量，现在也可以计算了，更使同伦性问题成为当时拓扑学发展的主流。在这个问题上，吴文俊明显地表现出他的不随大流的“反潮流”的独创精神。
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吴文俊在报告中重新提出拓扑性问题，而且他创立一般方法系统引入非同伦不变的拓扑不变量，特别是n重约化积，有了新工具之后，他用它去研究各种拓扑性问题。当然，一切都要经过试验，试验中也有问题不能用这种办法解决，但是，在嵌入问题上却取得辉煌的成功，从事系统地建立了示嵌类理论。在嵌入问题取得成功之后，他又用来解决浸入问题和同痕问题。
1957年，吴文俊把他的理论整理成书，在数学所油印成册。其后由于大跃进工作停顿，1964年将此书修订后，总结于《多＠①形在欧氏空间中的嵌入，浸入及同痕》一书，1965年由科学出版社出版，上两本均为英文，中译本《可剖形在欧氏空间中的实现问题》一直到文化大革命结束时才问世，但是其中主要结果在1958年前均已做出。
在数学所5年间，吴文俊另一项工作是关于庞特里亚金示性类的拓扑不变性问题。吴文俊在系统完成施提菲尔－惠特尼示性类的工作之后，自然考虑庞特里亚金示性类的同样问题。但庞特里亚金示性类问题要难的多，许多问题至今还没有解决。吴文俊研究时，只有庞特里亚金的一个简报(1942)及一篇论文(1947)。庞特里亚金主要论文是俄文的，他在法国就是靠字典一个字一个字查看明白的。吴文俊在做博士论文时，
