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“算经十书”数学思想简论(2)

2013-07-14 01:18
导读:古人用九九作为乘法口诀的简称,故有矩出于九九八十一。这里所包含的用数的性质来研究形的性质的思想,与古希腊的数学思想旨趣相映。古希腊的毕达
古人用“九九”作为乘法口诀的简称,故有“矩出于九九八十一”。这里所包含的用数的性质来研究形的性质的思想,与古希腊的数学思想旨趣相映。古希腊的毕达哥拉斯定理:a2+b2=c2 。而当a=b=1时,则
c= ,这 既不是自然数,也不是自然数之比,所以不能是可接受的正常的数,被称为无理数,导致了第一次数学危机,从此古希腊数学发展的方向产生了大改变,“几何化”占了主导地位。[1]商高提出了著名的“句三股四弦五”这个勾股定理(也称勾股弦定理、商高定理),是从“折矩”而来然后得“积矩”的,3,4,5及其平方的关系可以体现出勾股定理,但中国并没有由此而产生数学危机,也没有发生发展方向的大改变,反而为“几何代数化”[2]这个中国传统数学发展主导方向奠定了很好的基础。中国早期讲究以算的方法去解决实际数学问题,是“数之所由生”的重要思想。
在古代,不管是西方国家或中国,数学的发展都跟勾股定理结下不解之缘,这不是偶然的历史巧合,而是不同渊源和发展脉络的科学认识的一种必然交汇,其原因是由人们的实践活动决定的。作为人类早期的数学研究活动,很自然地会碰到考察形的性质及数量关系,直角三角形成为关注的对象是在情理之中。正如赵爽所说的,早期先人们(如大禹)能掌握有关的数学知识是“乃勾股之所由生也”。但不同民族的不同思维方式会导致数学发展的不同朝向,至少在初等数学领域内是存在的。古希腊在数、形简单和谐的观念被打破之后发生大转向,从重算发展到重证,发展到重视几何证明,往后的趋势就是有了这种发展趋势和成果的集大成标志——欧氏几何的产生,它是西方国家初等数学体系确立的标志,而中国此时并不发生方向的大改变,而是沿着算的道路继续前进,往广度和深度上延伸发展,导致的是中国传统数学体系的形成——《九章算术》的出现。《九章算术》中有许多具有世界意义的成就,如负数计算、分数计算、联立一次方程解法等,正是沿着探索计算的方法和技巧前进的结果。可贵的是,我们的祖先在此数学思想的指导之下,并不以原有的结果为满足,没有停留在原有的水平上裹足不进,而是精益求精地深入下去。如《九章算术》246道题,有解题方法202“术”,在当时有如此辉煌成绩已难能可贵,但三国魏晋时期的刘徽,就在《九章算术》的基础上,仔细作注,不但为《九章》提供了系统的理论依据,而且大力向前推进,提出了许多创见,将探讨和讲究精益求精的计算方法和技巧这种数学思想,提到一个更高的水平,并对后世的发展带来了深刻的实际影响,如他发现的割圆术,为后来祖冲之求得更精确的π值奠定了基础,唐李淳风注《九章算术》时说:“刘徽特以为疏,遂乃改张其率,但周径相乘数难契合。祖冲之以其不精,就中更推其数。”刘徽本人告诫人们他所得到的“徽率”太小,后人也正是沿着刘徽的思想方法再继续前进,将π值愈推愈精确。在求积问题上,刘徽也有突破,他提出了推求球体积的著名的“牟合方盖”理论,之后,祖暅在刘徽研究的基础上,精益求精,得到了闻名于世的“祖暅定理”,并具体求出了“牟合方盖”。这长江后浪推前浪,一浪更比一浪高的中国高超的算法技巧,正是在一条清晰的传统思维途径――探索和讲求精益求精的计算方法和技巧中进行和取得成就的。如《张丘建算经》自序中这样写道:“其夏侯阳之方仓,孙子之荡杯,此等之术皆未得其妙。故更造新术推尽其理。”在探索精益求精的算法道路上更上一层楼,就是《张丘建算经》的数学指导思想,正是在此思想的指导之下,出现了举世闻名的“百鸡问题”。

(转载自http://zw.NSEAC.com科教作文网)


2.讲究明确的思想依据
数学思想研究的是数学产生和发展的思想方法和思想依据。“算经十书”不仅在数学知识上光彩耀目,在数学思想上也独树一帜,其显著的特点是对于作为每项有意义的数学成果,都讲究其明确的思想依据。
刘徽精细地注释了《九章算术》,
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