数感及其教育价值(1)网

摘要：数感是人们在数概念扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。建立数感有助于提高学生的数学素养，有助于学生对数学知识的自我构建，有助于发展学生的创新精神和实践能力，有助于提高学生的文化修养。

关键词：数感；涵义；教育价值

我国2001年颁发的《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《数学课程标准》）在关于学习内容中安排了四个学习领域，指出“课程内容的学习，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间观念、统计观念，以及应用意识与推理能力”，同时描述了数感的主要表现。在总体目标的具体阐述中，将“建立初步的数感”列入数学思考目标的首项要求，可见，数感已成为我国义务教育阶段数学课程中一个全新的重要内容。

什么是数感？数学课程中安排数感有什么教育价值？自然就成为数学教育工作者十分关注的问题。

一、数感的涵义

“数感”的英文是“Number Sense”，也可以翻译成数觉或数意识。这个在西方数学教育中的常见词语，首次作为我国数学课程的一项培养目标，为我国当前的数学教育传达了一种全新的信息。什么是数感？可以从其历史发展过程中，国内外学者的有关论述中加以考察。

（一）数感是关于数字（量）的直觉

1976年，Carpenter与他的同事分析NAEP数据在估算上的作用之后，得出结论：在学生能很好地进行估算之前，他们一定发展了一种数量的直觉，一种用数字表现量的感觉。^[1](34)后来这种关于数量的直觉被称为数感。

1989年在美国的NCTM中，对数感进行了如下的阐述：“数感是一种关于数字的直觉，它从数字的所有不同的意义的表述得以表现。”^[1](34)

（二）数感是关于数概念的网络结构

1988年，Judith Sowder将数感定义为：“一个具有良好组织的概念网格结构，它能够使一个数字和它相关的操作特性相关联，并且以灵活而有创造性的方式解决数字问题。”^[1](34)这就是说，数感是关于数概念的网络结构，这个网络结构是随着数概念的不断扩大（自然数小数有理数实数复数）在人脑中逐步形成的，它帮助人脑接纳数学中的其他知识，使人开始以数为基础逐步建构数学知识系统，并且能够自觉选择灵活而有创造性的方式解决数字（量）问题。

（三）数感是与数字相关的教育目的的非精确形式

1989年，Resnick用非决定论的、开放式的思考对数感进行了阐述：数感抵抗我们已经在学校教育中所设定的以联系被指定目的的精确形式。^[1](34)即是说，作为一项教育目的，对于设定的与数字相关内容的精确形式而言，数感是相应的非精确形式。然而，当它发生的时候，列出数感的主要特征是相对容易的。（1）数感是非算法。那是因为行动的路径不被预先完全叙述。（2）数感是合成物。总路径不是“看得见”（心理上）地来自任何单一观点。（3）数感包括细微的判断力和解释。（4）数感包括多标准的运用，有时各标准之间会彼此冲突。（5）数感时常不确定。不是与任务有关的每件在手边的事物都是已知的。（6）数感包括思考程序的自我规则。（7）数感思考是需要努力的。

（四）数感是对于数和运算的一般理解

1999年，Robert Rey、Barbara Rey等六位学者在对澳大利亚、瑞典、美国以及我国台湾的8~14岁学生数感的评定研究中提出，数感是指“对于数和运算的一般理解，连同这种能力和倾向一起的是使用这种理解去灵活地作出数学判断，并且发展有用、有效率的策略去处理具体的数学情境。它导致一种关于使数字变成一种有意义的实体的数字观点，以及关于数学的操作和成果可以产生感觉的期望。”^[1](34)

2001年，《数学课程标准》在关于学习内容的说明中，描述了数感的主要表现：“理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达和交流信息；能为解决问题而选择适当的算法；能估算运算的结果，并对结果的合理性作出解释。”这些表现说明，我国数学课程中的数感主要是指对数和运算的一般理解。

2002年，我国学者马云鹏、史炳星认为：数感是人对数与运算的一般性理解。这种理解可以帮助人们用灵活的方法作出数学判断和为解决复杂的数学问题作出有用的策略。在中小学数学教学中，发展学生的数感主要是指：使学生具有应用数字表示具体的数据和数量关系的能力；能够判定不同的算术运算，有能力进行计算，并具有选择适当的方法（如心算、笔算、使用计算器）实施计算的经验；能依据数字进行推论，并对数据和推论的精确性和可靠性进行检验。建立数感可以理解为会“数学地”思考，这是十分重要的。^[2]

2002年，我国台湾学者Der Ching Yang关于数感的表述是：“一个人对于数字和运算的一般理解，以及处理日常生活中包括数字情境的一般能力，例如：形成有用的、灵活的和有效的策略（包括心算或估算）去处理数字问题。”^[1](34)

（五）数感是对于数字（量）的敏感及鉴别能力

2002年，我国学者郑毓信认为：为了说明数感，可以先看一些类似词语的用法，如“语感”“方向感”“美感”“质感”等。显然，这些词语都代表了一种相关的能力，但与能力相比，又都含有一种“直感”的涵义，特别是指对于某些特定的事物或现象或属性或方面的敏感性，及相关的鉴别（鉴赏）能力。而后者通常又并非是一种自觉的过程，仿佛已经成了主体的一种本能，一种直接的“感知”，从而在很多情况下是说不清、道不明的。^[3]根据以上描述，数感可以理解为对于数字（量）的敏感及鉴别能力。

（六）数感是数概念扩展中产生的一种对数学的敏感与理解

通过以上对数感的历史发展中各种定义的考察，笔者认为，数感是人们在数概念的扩展中而产生的对数学的一种敏感与一般理解。

（1）这种敏感与理解是对数字（量）的直觉，它帮助人们对数字（量）的直感迅速地反应为数学问题，使数学问题从感知层面敏捷地链接到数学思维。

（2）这种敏感与理解是关于数概念的网络结构。这个网络结构帮助人们以数为基础掌握更多的数学知识，以选择灵活而有创新的方式解决数量问题。

（3）这种敏感与理解具有非算法、非单一、非确定、非逻辑等特点，其反应时间短，稳定性差，是所需解决的问题与数学思维之间的按钮，其灵敏度与数概念网络结构的个性化有关。

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