基于函数概念的认知分析的教学策略研究_理工毕(6)
2013-04-24 01:32
导读：问题2：那么我的体重必须在什么范围内呢？从数学的角度来看是什么问题？ 学生（数学问题2）：已知 , ,如果 ,那么 在什么范围内？ 师生共同解决： ,
问题2：那么我的体重必须在什么范围内呢？从数学的角度来看是什么问题？
学生（数学问题2）：已知 , ,如果 ,那么 在什么范围内？
师生共同解决： , ,则 ,即 。
这说明我的体重介于58.6154千克与72.55636千克之间的话为正常范围。
师:我们还能提出什么问题？
学生：作一个直角坐标系。
师：好，我在黑板上画一个直角坐标系。下面呢？
学生：（讨论）
师：作一个直角坐标系有什么用？
学生：作出函数图像。
师：什么函数？
学生：（讨论）
师：我们看到关系式 中有三个量，而我们黑板上画的是平面直角坐标系，也是我们仅仅学过的坐标系，在这个坐标中只能表示两个维度，这里的x轴、y轴，那么这里的x轴、y轴分别表示什么呢？
学生：x轴表示k(肥胖指标)，y轴表示w（体重）。
师：那么h是什么？还能不能是一个变量？
学生:只能是一个常数，不妨设为1.78。
师：那么我们就得到函数 ,即 ，是一个一次函数，当然，这个函数的自变量k应当有一个取值范围，例如，上面我们提到介于18.5与22.9之间，那么函数 (体重)就应有一个范围，就是上面的问题，从图像上看就是一条直线的一段。受此启发，我们是否可以考虑x轴、y轴分别代表其它的变量？
众生：可以。
师：让我们进一步思考下去。
学生：x轴表示 （身高）, y轴表示 (体重)。
师： 是否需要是一个确定的值？
学生： 为20吧。
师：这样我们就得到 ，这里 是 的二次函数，当然 也是有取值范围的，据此，我们可以设计怎样的问题？
学生：我小学毕业时身高为1.40米，现在的身高约为1.60米，如果我要保持我的肥胖指标一直为20的话，那么我的体重应当从多少到多少？
师：指你的体重在什么范围内变化？
学生：对。
学生：解决他的问题只要计算出当 和 时的函数 时的函数值。
师生共同：我们算出当 和 时函数 的函数值分别为39.2和51.2。
学生：这说明他的体重应从39.2千克到51.2千克。
师:从数学的观点看,我们是应当注意到二次函数 在自变量取1.40到1.60的范围内,函数值随着 的增大而增大,这样我们才有理由说他的体重应从39.2千克不断增加到51.2千克。
好,让我们继续挖掘这里的宝藏吧。
学生：对于关系式 中的三个量确定任何一个量，我们可得到另外两个量的函数关系。
师：非常好，具体一点。
学生：例如对于上面的 ，可变形得到 ，可变形得到 。
师：由一次函数 得到的 仍为一次函数，由二次函数 得到的 是根式函数（为他们以后的反函数学习作铺垫）。
如果 为定值，我们设 ，那么可得到什么呢？
学生： , ,是什么函数不知道。
师：像 这样，由若干个多项式的和、差、积、商所构成的函数（做除法时除数恒不为零）叫做有理函数，在初等函数中，像 这样，不是有理函数的代数函数叫无理函数。
再从另外一个角度看待以上讨论的问题，我们看到今天共解决三类问题：一是求值；二是求范围；三是两个变量之间的函数关系。而前两类问题可分别归结为求函数值和值域问题，因此可以用函数来统一以上所述。[44]
案例4小明的父亲是被派往西北某地区扶贫的一名干部,在他爸爸扶贫的两村庄在河岸(一段长长的直河)的同一侧,由于两村所在的地势高于河床,因此,尽管河里水源充足,但两村庄的水源却非常紧张。经小明的爸爸考察发现这正是导致两村庄贫困的主要原因)。要想两村庄脱贫致富，必须首先得解决水源问题。小明的爸爸想到了一个方案，在河岸修建一个抽水站，（需要１０万元），然后铺设管道（铺管道每米需要２.５万元）到两村。经测量两村庄距离河岸分别为４千米和８千米，两村之间距离为５千米；通过小明的爸爸和当地政府向国家有关部门申请，争取到了拨款４０万元。小明的爸爸在想能否用这些资金来完成这一任务？如果不能完成，那又最少还需要筹集资金多少万元？在他不是很有把握估算出来时，想到了在上高中的儿子，马上打电话给小明，把这一情况向儿子说了一遍，希望能帮他正确预算出来。
小明接了电话后，想到可以帮老爸一个大忙，立即开始思考。能否用这些资金完成任务，取决于完成任务的最小资金能否不超过４０万元，修建抽水站和铺管道每米所需要的资金是固定的，因此能想到的办法只能是抽水站修建在何处，使给两村庄所铺管长最少，于是小明想到了构造函数模型求解。
设两村庄分别为Ａ和Ｂ，它们到河岸的距离分别为 ，其中 ，而且 ，并作出了右图１.的示意图形，过Ａ作 于 ， ，
又设抽水站修好建在Ｄ处， ，所要铺设总管道长为 ，则有 ，于是问题转化为求函数 的最小值问题。
图1.
小明解到此，对于这个函数的最小值，无法求解。有没有其它解决办法呢？小明想了一夜没有想出更好的办法。第二天来请教数学老师。数学老师没有给他直接回答。说到数学课上一起来就这一问题展开讨论：
数学课上，老师先讲了一点内容，然后才把问题拿出来讨论的。过了十分钟后，有同学沿着小明的思路，想到这里问题的实质是在直线 上求一点Ｄ，使Ｄ到直线同一侧的两点Ａ、Ｂ的距离之和最小，这正是平面几何中我们已前所解决过的问题，于是有了思路了。作Ａ关于直线 的对称点 ，过 作 于 ，连结 B, B交EF的于点D，则D到A、B两点距离之和最小（如图2）所示，
此时 （万米）
故最小费用为， （万元）。 图2.
故小明的爸爸还需自筹资金约９２５０元。
同学们仔细再想一想，此时下课铃响起来了，于是老师要求同学们课后再去想一想，明天再继续讨论，是否还有更好的办法，不需要自筹资金是最好的。
您可以访问中国科教评价网（www.NsEac.com）查看更多相关的文章。 第二天，数学课上继续讨论，要求同学们想一想上面问题解法有没有问题？还有没有更好办法？
同学们纷纷讨论，上面的问题解法没有什么疑问？我们在学平面几何时老师就特别提醒过这一知识点的用途。有同学还说“记得很清楚呢不会有错”？数学老师提醒要同学们联系生活实际，自已家的自来水管是怎样来的？
