“以错纠错”的案例分析(1)(5)
2014-10-27 01:05
导读：2ｍ＋3ｐ＝2ｋ， ① 3ｍ－2ｐ＝ｋ． ② 由式①、②消去ｋ，得 2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ， ∴ 4ｍ＝7ｐ． 当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13． ∴ 2ａ
2ｍ＋3ｐ＝2ｋ， ①
3ｍ－2ｐ＝ｋ． ②
由式①、②消去ｋ，得
2ｍ＋3ｐ＝2（3ｍ－2ｐ）＝6ｍ－4ｐ，
∴ 4ｍ＝7ｐ．
当ｍ，ｐ分别取7和4时，ｋ＝13．
∴ 2ａn＋ｂn＝（7／13）（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）（3ａn－2ｂn）．
∴
（2ａn＋ｂn）＝（7／13）
（2ａn＋3ｂn）＋（4／13）
（3ａn－2ｂn）＝7／13×7＋4／13×4＝5．
错因分析与解题指导：已知
（2ａn＋3ｂn）＝7，
（3ａn－2ｂn）＝4，并不意味着
ａn、
ｂn存在，在误解中利用数列极限的运算法则：
（ａn±ｂn）＝
ａn±
ｂn，默认
ａn与
ｂn存在，这是错误的．要求
（2ａn＋ｂn），就必须将2ａn＋ｂn去用（2ａn＋3ｂn）与（3ａn－2ｂn）表示出来，为此可以用如正确解答中那样用待定系数法来解．显然ｍ、ｐ的值不是惟一的，但是对不同的ｍ、ｐ之值求得的极限值是相同的，因此可以取使计算较为方便的整数值．（引文完）
（科教论文网 lw.nSeAc.com编辑发布） 以上详细引述的3个例子只有数字上的微小区别，而教师（包括评委）的看法是完全一致的．类似的看法还可参见文［8］～［12］．
虽然，大家的看法如此一致，如此长久，但文［6］的作者仍能力排众议，大声发问：“由题设，真的不能判断
ａn和
ｂn是否存在吗?”回答是否定的．教师的“纠错”比学生错得更多．
二、案例分析
我们以例1为主来进行分析，弄清学生的错误、教师的错误、错误的性质和应吸取的教训等．
1.学生解法的认识
学生的解法中有两个合理的成分：其一是能紧紧抓住两个已知条件，综合使用；其二是想到运用极限运算法则；得出的极限值也确为所求．
缺点是默认了
ａn与
ｂn的存在；也不会整体使用极限运算法则，这可以从3个方面来分析．
（转载自http://zw.NSEAC.com科教作文网） （1）知识性错误
表现在：没有验证ａn与ｂn极限的存在性就使用极限运算法则；没有证明或证明不了ａn与ｂn极限的存在性；还不会变通使用（如借用待定系数法）极限运算法则．
（2）逻辑性错误
表现为逻辑上的“不能推出”：跳过ａn与ｂn极限存在性的必要前提，直接使用极限运算法则．但此处仅仅为未验证前提，而并非“前提不真”．对此，“教师”的错误性质比学生的默认更有问题，下面会谈到．
（3）心理性错误
表现为“潜在假设”，默认ａn与ｂn极限的存在性，既未想到要证明，更未给出证明．
由于在已知条件下，ａn与ｂn的极限确实存在，所以，学生的错误属于“对而不全”，缺少了关键步骤．
这个事实说明，学生的学习过程，是以自身已有的知识和经验为基础的主动建构活动．其“对而不全”的解法，正是学生对该数学问题的一种“替代观念”，是建构活动的一个产物，既有一定的合理性，又需要完善．接下来的反审活动，有助于学生掌握元认知知识，获得元认知体验和进行元认知调控．
2.教师认为“不一定保证
ａn与
ｂn存在”是不对的
事实上，在已知条件下，用待定系数法不仅可以求
（3ａn＋ｂn），而且可以求
（αａn＋βｂn），取α＝1，β＝0或α＝0，β＝1只不过是一种更简单的特殊情况．我们来给出一个更一般的结论．
（科教范文网http://fw.nseac.com）
命题1 若
（α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1，
（α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2，
则当ａ1β2－α2β1≠0时，两个极限
ａn与
ｂn均存在，且
ａn＝ｃ1β2－ｃ2β1／α1β2－α2β1，
ｂn＝α1ｃ2－α2ｃ1／α1β2－α2β1．
证明：设
ａn＝ｘ（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）
＝（α1ｘ＋α2ｙ）ａn＋（β1ｘ＋β2ｙ）ｂn，
（科教作文网 zw.nseac.com整理） 令
