“以错纠错”的案例分析(1)(6)
2014-10-27 01:05
导读：α1ｘ＋α2ｙ＝1， β1ｘ＋β2ｙ＝0． 解得 ｘ＝β2／（α1β2－α2β1），ｙ＝－β1／（α1β2－α2β1）． 从而 ［x（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）］ ＝ｘ
解得 ｘ＝β2／（α1β2－α2β1），ｙ＝－β1／（α1β2－α2β1）．
从而
［x（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ（α2ａn＋β2ｂn）］
＝ｘ
（α1ａn＋β1ｂn）＋ｙ
（α2ａn＋β2ｂn）
＝ｘｃ1＋ｙｃ2＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）．
即
ａn＝（ｃ1β2－ｃ2β1）／（α1β2－α2β1）．
（科教范文网http://fw.ΝsΕΑc.com编辑）
同理可确定ｂn极限的存在性，并计算出
ｂn＝（α1ｃ2－α2ｃ1）／（α1β2－α2β1）．
（1）取α1＝3，β1＝4，ｃ1＝8，α2＝6，β2＝－1，ｃ2＝1，可得
ａn＝4／9，
ｂn＝5／3．这就是例1．也可以用文［2］正解的方法求出
ａn＝
［（1／27）（3ａn＋4ｂn）＋（4／27）（6ａn－ｂn）］
＝（1／27）
（3ａn＋4ｂn）＋（4／27）
（6ａn－ｂn）＝8／27＋4／27＝4／9．
ｂn＝
［（2／9）（3ａn＋4ｂn）－（1／9）（6ａn－ｂn）］
＝（2／9）
（3ａn＋4ｂn）－（1／9）
（6ａn－ｂn）＝16／9－1／9＝5／3．
（2）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝5，α2＝1，β2＝－1，ｃ2＝2，这便得例2，有
ａn＝（1／5）
（2ａn＋3ｂn）＋（3／5）
（ａn－ｂn）
（科教作文网http://zw.ΝsΕAc.Com编辑整理） ＝1／5×5＋3／5×2＝11／5，
ｂn＝（1／5）
（2ａn＋3ｂn）－（2／5）
（ａn－ｂn）
＝1／5×5－2／5×2＝1／5．
（3）取α1＝2，β1＝3，ｃ1＝7，α2＝3，β2＝－2，ｃ2＝4，这便得例3，确实有
ａn＝2，
ｂn＝1．
应该说，求
ａn、
ｂn与求
（αａn＋βｂn）道理是一样的，为什么会有这么多的教师长期坚持“
ａn、
ｂn不一定存在”呢?这除有知识、逻辑因素外，而对多数人来说，恐怕还有一个“人云亦云”，迷信权威、迷信刊物的心理性错误．我们说，失去自信比缺少知识更为可怕．
（科教范文网http://fw.nseac.com） 3.反例“ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4”的错误根源
上面已经严格证明了
ａn与
ｂn的存在性（以α1β2－α2β1≠0为前提），因而文［2］作者一次又一次重复给出的反例肯定是错误的，问题是应该找出错误的原因，弄清错误的性质．
（1）检验可以发现错误
把ａn＝4／3＋ｎ2／3，ｂn＝1－ｎ2／4代入已知条件，有
（3ａn＋4ｂn）＝
8＝8．
但
（6ａn－ｂn）＝
（7＋9／4ｎ2）
（科教范文网http://fw.nseac.com）
不存在，更不等于1．
所以，文［2］的反例并不能成为反例．其之所以成为反例，是作者根据不充分的前提（来验证第2个条件）得出的，逻辑上犯有“不能推出”的错误．
（2）误举反例的原因分析
①首先是对题目中有两个条件重视不够，在找反例时，主要依据“若
ａn、
ｂn存在，则
（ａn＋ｂn）＝
ａn＋
ｂn，反之不真（思维定势）”．这对只有一个条件是成立的；据此找出的反例也只验证第1个条件，而不验证第2个条件，这可能也是“反之不真”思维定势的负迁移．
（科教论文网 lw.nseaC.Com编辑发布）
②其次是对下面的结论不知道，或未认真思考过：
命题2 若
（α1ａn＋β1ｂn）＝ｃ1，
（α2ａn＋β2ｂn）＝ｃ2．
则有
（ｉ）当α1β2－α2β1≠0时，
ａn、
ｂn均存在；
（ｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1＝0时，则ａn，ｂn的极限不一定存在．（文［2］的反例适用这一情况）
（ｉｉｉ）当α1β2－α2β1＝0且α1ｃ2－α2ｃ1≠0，则ａn，ｂn的极限均不存在．
这实质上是两直线相交、重合、平行判别法则的移植或线性方程组理论的简单应用．
对比“反例”所表现出来的两个错误根源，我们认为主要还是知识原因，由于教师没有看透题目的数学实质，从而也没有看透学生的错误性质，所进行的大段文字分析缺少数学针对性．所以，对每一个教师而言，提高数学专业水平是一个永无止境的课题．
（科教论文网 lw.nseaC.Com编辑发布） 4.试作一个探究性的教学设计
本文“以错纠错”的例子，持续了10年以上的时间，发表在多家刊物上，还出现在文［6］正确纠正之后，这对读者、编者和作者都有很多教训，也错过了一个培养学生创新精神的机会．我们愿在例题数学实质较为清楚的时候，提出一个教学设计，分为7步．
（1）提出问题，暴露学生的真实思想．
其过程是给出例1（或例2、例3等，还可以根据命题2编拟3种类型的例题），让学生得出不完整的解法．
（2）反思，引发认知冲突．
教师与学生一起检查每一步的依据，发现使用极限运算法则需要
ａn、
ｂn的存在性做前提．前提存在吗?有两种可能：或举一个反例来否定，或给出一个证明来肯定．
（3）分两大组自主探索，自我反省．
按照证实与证伪可以分两大组，下分小组，每组三五人，让学生在学习共同体中自主探索，教师巡回指导，这将是一个十分生动的过程．
（4）得出
ａn、
ｂn的求法．
（科教作文网http://zw.NSEaC.com编辑发布）
这样，学生的求解就完整了．可以分成三步：
①求
ａn＝…＝4／9；
②求
ｂn＝…＝15／9；
③求
（3ａn＋ｂn）＝…＝3．
（5）进行解题分析，得出改进解法．
引导学生认识到：
①求
ａn、
ｂn所使用的方法也可以直接用到求
（3ａn＋ｂn）上来．
（科教范文网http://fw.NSEAC.com编辑发布）
②先分别求
ａn、
ｂn，再合并得结论
（3ａn＋ｂn）有思维回路：
